Số học mô đun và trường hữu hạn

Số học mô đun là một dạng khác của số học thông thường chỉ dùng các số { 0 , 1 , 2 , … , n − 1 } {\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}} với một số tự nhiên n {\displaystyle n} được gọi là mô đun. Bất kỳ số tự nhiên nào khác đều có thể được ánh xạ vào hệ thống này bằng cách thay nó bằng số dư của nó khi được chia bởi n {\displaystyle n} .[97] Mô đun tổng, hiệu và tích được tính bằng cách thực hiện phép thế bằng số dư trong phép chia của tổng, hiệu hoặc tích các số nguyên thông thường.[98] Sự bằng nhau giữa các số nguyên có liên quan đến khái niệm đồng dư trong số học mô đun: x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} đồng dư (ký hiệu x ≡ y mod n {\displaystyle x\equiv y{\bmod {n}}} ) khi phép chia của chúng bởi n {\displaystyle n} cho số dư bằng nhau.[99] Tuy nhiên, trong hệ thống số đó, chỉ có thể xảy ra phép chia cho một số khác 0 khi và chỉ khi mô đun là số nguyên tố. Chẳng hạn, với mô đun 7, có thể tồn tại phép chia cho 3: 2 / 3 ≡ 3 mod 7 {\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}} , vì khi nhân cả hai vế cho 3 thì ta được biểu thức đúng 2 ≡ 9 mod 7 {\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}} . Nhưng với mô đun 6 (là một hợp số), không thể tồn tại phép chia cho 3: phương trình 2 / 3 ≡ x mod 6 {\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}} vô nghiệm vì khi nhân cả hai vế cho 3 thì vế trái trở thành số 2 còn vế phải trở thành số 0 hoặc số 3. Trong đại số trừu tượng, khả năng thực hiện phép chia có nghĩa rằng mô đun một số nguyên tố tạo thành một trường được gọi là trường hữu hạn, trong khi các mô đun khác chỉ tạo ra vành.[100]

Bằng số học mô đun, có thể suy ra được một số định lý về số nguyên tố. Ví dụ, định lý nhỏ Fermat phát biểu rằng nếu a ≢ 0 {\displaystyle a\not \equiv 0} (mod p {\displaystyle p} ) thì a p − 1 ≡ 1 {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1} (mod p {\displaystyle p} ).[101] Lấy tổng trên tất cả giá trị của a {\displaystyle a} , ta được phương trình

∑ a = 1 p − 1 a p − 1 ≡ ( p − 1 ) ⋅ 1 ≡ − 1 ( mod p ) , {\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}

đúng khi p {\displaystyle p} là số nguyên tố. Giả thuyết Giuga cho rằng phương trình này là điều kiện đủ để p {\displaystyle p} là số nguyên tố.[102] Theo định lý Wilson, một số nguyên p > 1 {\displaystyle p>1} là số nguyên tố khi và chỉ khi giai thừa ( p − 1 ) ! {\displaystyle (p-1)!} đồng dư với –1 mod p {\displaystyle p} . Với một hợp số n = r ⋅ s {\displaystyle \;n=r\cdot s\;} thì định lý này không đúng, vì khi đó có một trong hai thừa số chia hết cả n và ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} nên không thể có ( n − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod n ) {\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}} .[103]

Số p-adic

Cấp p {\displaystyle p} -adic ν p ( n ) {\displaystyle \nu _{p}(n)} của một số nguyên n {\displaystyle n} là số lần xuất hiện của p {\displaystyle p} trong phân tích nguyên tố của n {\displaystyle n} . Khái niệm này có thể được mở rộng cho số hữu tỉ: cấp p {\displaystyle p} -adic của một phân số m / n {\displaystyle m/n} được xác định là ν p ( m ) − ν p ( n ) {\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)} . Khi đó, giá trị tuyệt đối p {\displaystyle p} -adic | q | p {\displaystyle |q|_{p}} của một số hữu tỉ q {\displaystyle q} là | q | p = p − ν p ( q ) {\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}} . Khi nhân một số nguyên với giá trị tuyệt đối p {\displaystyle p} -adic của nó thì các thừa số p {\displaystyle p} trong phân tích nguyên tố của số nguyên đó bị khử và chỉ còn lại các thừa số nguyên tố khác. Giống như khi đo khoảng cách giữa hai số thực bằng giá trị tuyệt đối thông thường, khoảng cách giữa hai số hữu tỉ có thể được đo bằng độ dài p {\displaystyle p} -adic, tức là giá trị tuyệt đối p {\displaystyle p} -adic của hiệu hai số đó. Theo định nghĩa khoảng cách đó, hai số được gọi là gần nhau (có khoảng cách nhỏ) khi hiệu giữa chúng có thể chia hết bởi một lũy thừa bậc cao của p {\displaystyle p} . Bằng cùng một cách mà số thực được tạo thành từ số hữu tỉ và khoảng cách giữa chúng cùng một số giá trị giới hạn được thêm vào để hợp lại thành một trường đầy đủ, các số hữu tỉ với khoảng cách p {\displaystyle p} có thể được mở rộng sang một trường đầy đủ khác được gọi là số p {\displaystyle p} -adic.[104][105]

Các khái niệm về cấp, giá trị tuyệt đối và trường đầy đủ suy ra từ chúng có thể được khái quát hóa cho trường số đại số và định chuẩn của chúng (ánh xạ nhất định từ nhóm nhân của trường đó sang một nhóm cộng được sắp toàn phần), giá trị tuyệt đối (ánh xạ nhân nhất định từ trường đó sang số thực),[104] và vị trí (sự mở rộng thành một trường đầy đủ từ một tập trù mật cho trước).[106] Chẳng hạn, sự mở rộng từ tập số hữu tỉ sang tập số thực là một vị trí mà tại đó khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối thông thường của hiệu hai số đó. Ánh xạ tương ứng sang một nhóm cộng là logarit của giá trị tuyệt đối đó, mặc dù nó không thỏa mãn tất cả yêu cầu của một định chuẩn. Theo định lý Ostrowski, trước khái niệm tự nhiên về tương đương, số thực và số p {\displaystyle p} -adic cùng cấp và giá trị tuyệt đối của chúng là định chuẩn, giá trị tuyệt đối và vị trí duy nhất trên tập số hữu tỉ.[104] Nguyên lý Hasse cho phép giải nhiều bài toán trên số hữu tỉ bằng cách hợp các nghiệm từ các vị trí của chúng lại với nhau, một lần nữa nhấn mạnh tầm quan trọng của số nguyên tố trong lý thuyết số.[107]

Phần tử nguyên tố trong vành

Số nguyên tố Gauss với chuẩn nhỏ hơn 500

Vành giao hoán là một cấu trúc đại số có định nghĩa phép cộng, phép trừ và phép nhân. Tập số nguyên là một vành và số nguyên tố trong tập đó đã được khái quát hóa sang lý thuyết vành với thuật ngữ phần tử nguyên tố và phần tử tối giản. Một phần tử p {\displaystyle p} của vành R {\displaystyle R} được gọi là phần tử nguyên tố nếu nó khác 0, không có nghịch đảo (không phải phần tử đơn vị) và thỏa mãn điều kiện: khi p {\displaystyle p} chia hết tích x y {\displaystyle xy} gồm hai phần tử trong R {\displaystyle R} thì nó cũng chia hết ít nhất một trong hai phần tử x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} . Một phần tử được gọi là phần tử tối giản nếu nó không phải phần tử đơn vị, cũng không phải là tích của hai phần tử khác phần tử đơn vị. Trong vành số nguyên, các phần tử nguyên tố và tối giản tạo thành cùng một tập hợp

{ … , − 11 , − 7 , − 5 , − 3 , − 2 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … } . {\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}

Trong một vành bất kỳ, mọi phần tử nguyên tố đều là phần tử tối giản. Phát biểu ngược lại của nó chỉ đúng trong miền phân tích nhân tử duy nhất.[108]

Định lý cơ bản của số học là đúng (theo định nghĩa) trong miền phân tích nhân tử duy nhất. Ví dụ về một miền như thế là vành số nguyên Gauss Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} , vành các số phức dạng a + b i {\displaystyle a+bi} với i {\displaystyle i} là đơn vị ảo và a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} là số nguyên bất kỳ. Các phần tử nguyên tố của vành đó được gọi là số nguyên tố Gauss. Một số nguyên tố trong vành số nguyên có thể không phải là số nguyên tố trong vành số nguyên Gauss; chẳng hạn, số 2 có thể được viết thành tích của hai số nguyên tố Gauss 1 + i {\displaystyle 1+i} và 1 − i {\displaystyle 1-i} . Số nguyên tố hữu tỉ (phần tử nguyên tố trong vành số nguyên) đồng dư với 3 mod 4 là số nguyên tố Gauss, nhưng số nguyên tố hữu tỉ đồng dư với 1 mod 4 không phải vậy.[109] Đó là một hệ quả của định lý Fermat về tổng của hai số chính phương, phát biểu rằng một số nguyên tố lẻ p {\displaystyle p} có thể được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương, p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} , và do đó có thể được phân tích thành p = ( x + i y ) ( x − i y ) {\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)} , chỉ khi p {\displaystyle p} đồng dư với 1 mod 4.[110]

I-đê-an nguyên tố

Không phải mọi vành đều là miền phân tích nhân tử duy nhất. Chẳng hạn, trong vành các số a + b − 5 {\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}} (với a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} là số nguyên), số 21 có hai cách phân tích: 21 = 3 ⋅ 7 = ( 1 + 2 − 5 ) ( 1 − 2 − 5 ) {\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})} , trong đó cả bốn thừa số đều là tối giản, nên nó không có một phân tích nhân tử duy nhất. Để mở rộng khái niệm phân tích nhân tử duy nhất sang các lớp vành khác lớn hơn, có thể thay thế thuật ngữ về số bằng thuật ngữ về i-đê-an, một tập hợp con của các phần tử trong một vành chứa tổng của mỗi cặp phần tử của nó và tích của mỗi phần tử của nó với một phần tử trong vành. I-đê-an nguyên tố, vốn khái quát hóa phần tử nguyên tố trong trường hợp i-đê-an chính tạo ra bởi một phần tử nguyên tố là một i-đê-an nguyên tố, là một công cụ quan trọng và chủ đề nghiên cứu chính trong đại số giao hoán, lý thuyết số đại số và hình học đại số. Các i-đê-an nguyên tố trong vành số nguyên là (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Định lý cơ bản của số học được khái quát hóa thành định lý Lasker–Noether biểu diễn một i-đê-an bất kỳ trong một vành giao hoán Noether thành giao của các i-đê-an sơ cấp, một dạng khái quát hóa thích hợp của lũy thừa nguyên tố.[111]

Phổ của một vành là một không gian hình học mà các điểm trong đó là các i-đê-an nguyên tố của vành đó.[112] Thuật ngữ này giúp ích nhiều cho hình học đại số và nhiều khái niệm liên quan khác cũng xuất hiện trong hình học và lý thuyết số. Chẳng hạn, sự phân tích hoặc phân chia i-đê-an nguyên tố khi áp dụng trong một trường mở rộng, một bài toán cơ bản của lý thuyết số đại số, thì có tương đồng với sự phân chia trong hình học. Các khái niệm này thậm chí còn có thể hỗ trợ giải một số bài toán đặc biệt liên quan đến số nguyên trong lý thuyết số. Ví dụ, có thể dùng i-đê-an nguyên tố trong vành số nguyên của trường số bậc hai để chứng minh luật tương hỗ bậc hai, một phát biểu về sự tồn tại của biểu thức căn bậc hai mô đun một số nguyên tố nguyên.[113] Những cố gắng ban đầu để chứng minh định lý cuối của Fermat đã dẫn đến sự ra đời khái niệm số nguyên tố chính quy, những số nguyên tố nguyên liên quan đến sự không tồn tại phân tích nhân tử duy nhất trong trường số nguyên chia đường tròn.[114] Bài toán có bao nhiêu số nguyên tố nguyên có thể được phân tích thành một tích gồm nhiều i-đê-an nguyên tố trong một trường số đại số được giải quyết bằng định lý mật độ Chebotarev mà khi được áp dụng cho số nguyên chia đường tròn thì có trường hợp đặc biệt là định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng.[115]

Lý thuyết nhóm

Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý Sylow phát biểu rằng nếu lũy thừa của một số nguyên tố p n {\displaystyle p^{n}} chia hết cấp của một nhóm thì nó có một nhóm con với cấp p n {\displaystyle p^{n}} . Theo định lý Lagrange, một nhóm với cấp nguyên tố là nhóm cyclic, và theo định lý Burnside thì một nhóm có cấp chia hết được bởi đúng hai số nguyên tố là nhóm giải được.[116]